《微积分溯源》是一堂以「新角度」讲解微积分的数学课，带领读者回溯微积分的起源与思想发展历程，探索微积分这座「数学宝藏」如何被塑造成今天的模样。
原文标题：豆瓣9.2，数学圈力荐，一本不到200页的微积分著作何以成为经典？
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
- 聚焦微积分的起源和思想发展历程，重现了微积分发展史中的重要时刻和四大思想主线，回顾了牛顿、莱布尼茨、黎曼等伟大数学家的辉煌成就。
- 从古希腊、古埃及、古印度、中国和欧洲等地的微积分思想发展，展示微积分这座“数学宝藏”的形成过程。
- 结合数学学习模式和教育研究，探讨了重要的公式和定理，用数学学习的思考模式和方法，展现微积分的学习思路。
- 仅需微积分基础知识和对数学的好奇心，读者就能从中得到启迪。
怜星夜思：
2、如何评价伯努利兄弟在微积分发展中的贡献，他们与莱布尼茨之间的关系又是怎样的？
3、洛必达法则在微积分中的重要性是什么，它是如何被发现的？
原文内容
从古希腊、古埃及、古印度、中国和欧洲等地的微积分思想，到牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、黎曼等伟大数学家的辉煌成就，微积分这座“数学宝藏”如何被塑造成今天的模样？
如果你想学习微积分，了解其发展史与获取知识不是对立、分割的两件事，更不是非此即彼的。
回溯微积分的发展史本身就能给学习带来启发。
《微积分溯源》是一堂以“新角度”讲解微积分的数学课。作者聚焦微积分的起源与思想发展历程，结合数学学习模式和教育研究，重现了微积分发展史中的重要时刻和四大思想主线，回顾了牛顿、莱布尼茨、黎曼等伟大数学家的辉煌成就。我们将一起游历世界，看一看微积分这座“数学宝藏”的来时路。
《微积分溯源》
作者：[美] 戴维·M. 布雷苏
译者：陈见柯 林开亮 叶卢庆
01
莱布尼茨的觉醒
戈特弗里德·莱布尼茨 (Gottfried Leibniz, 1646—1716, 图 2.18) 学的是法律专业,职业是律师.他曾担任过冯·伯恩堡男爵 (Baron von Boyneburg)的私人秘书.出于外交的需要, 这是一个经常在各地往返的职位.
1672 年,他与克里斯蒂安·惠更斯在巴黎见过面, 后者或许是那个年代微积分领域最重要的欧洲大陆学派专家.
抵达巴黎后, 莱布尼茨高估了自己的数学水平,解决惠更斯向他提出的一个问题以后, 这种感觉变得更加强烈.
惠更斯的问题是对三角数的倒数求和, 即计算
若利用部分分式展开, 莱布尼茨注意到
抵消中间项, 此时
次年, 莱布尼茨到英国旅行. 其间, 他试图提醒英国的哲学家们关注上述结果, 但最终却发现, 早在二十几年前, 彼得罗·门戈利 (Pietro Mengoli,1626—1686) 就已经对此结果进行过说明.
此时的莱布尼茨才意识到, 他对于微积分最新的进展是多么无知. 离开英国之时, 莱布尼茨还带上了巴罗的一本《几何学讲义》.
在接下来的几年里, 莱布尼茨在巴黎生活, 并在惠更斯的指导下开展严肃的数学研究工作.
等到 1673 年秋天, 他已经重新发现了积分学基本定理.在 1673 年到 1676 年, 莱布尼茨发展了使用积分法则的工具, 甚至包括对换元积分法和分部积分法的深刻理解.
他的做法依赖于无穷小的语言. 他发明的记号让我们受用至今: 莱布尼茨用
的记号表示导数, 将其理解为无穷小的比, 并用
的记号表示对乘积形式 ydx 进行求和.
莱布尼茨将微分视作无穷小量, 但他十分清楚, 它们是虚构出来的数学对象, 仅仅用来简记一个量可以按照我们需要的方式任意小. 通过一封写给伯纳德·纽汶蒂 (Bernard Nieuwentijdt) 的信, 莱布尼茨解释了他的想法:
当谈及无限大量 (或者更严格的说法, 无穷大量)、无限小量 (或我们认知里最小的量) 之时, 我们指的是, 这些量可以任意大、任意小, 换言之, 它们可以以我们需要的方式变得任意大、任意小, 即对于任意的量, 我们都可以使得误差比这个给定的量小. ......若试图将它们 [包括无限大量和无限小量] 理解为终极对象, 或真实的无限, 或许你会认为这完全不可能, 但我们的确可以做到这一点, 是的, 不仅如此, 这种做法也不会退回到对于扩张、无限连续统, 以及无限小真实性方面的争论. 正如代数学家们使用虚根可以获得巨大的收获, 人们只需要将无限大量和无限小量视作微积分的一种简单工具即可. ( [16], p. 150; 斜体为添加文字.)
引用文字中的斜体部分表明, 莱布尼茨坚持认为: 无穷小量的差可以任意接近于 0.
02
伯努利兄弟的接力
一定程度上而言, 莱布尼茨最伟大的贡献在于, 他清楚应该将这些知识送往何处, 才能得到有效的反馈.
莱布尼茨在1682年协助设立了《教师学报》(Acta Eruditorum), 这是 (德意志民族) 神圣罗马帝国的第一份科学期刊, 同时也是整个欧洲地区最早的期刊之一.
1684 年, 莱布尼茨将他自己在微积分领域的第一份论文发表在此处. 这篇论文成功地引起了一对喜好数学的瑞士兄弟 —— 雅克布·伯努利 (Jacob Bernoulli, 1654—1705) 和约翰·伯努利 (Johann Bernoulli, 1667—1748) 的注意.
得到莱布尼茨的保证后, 伯努利兄弟更倾向于将无穷视作具体的量, 因为莱布尼茨告知他们这是一种安全的处理方式.
按照这种理解方式, 伯努利兄弟取得了巨大的成功. 1690 年到 1697 年, 凭借对微积分中微分工具的熟练掌握, 他们发现了很多带有特殊性质的曲线.
• 等速曲线. 求解一条曲线, 使得小球在重力作用下能够以恒定的竖直速度沿曲线下降.
• 等时曲线. 求解一条曲线, 使得无论小球的初始位置处于曲线的哪一点, 它都将经历相同的时间到达曲线底端.
• 最速降线. 给定 A、B 两点 (其中点 B 比点 A 略低). 试求连接 A、B 的所有曲线中, 能够使得小球从点 A 滚动到点 B 耗时最短的曲线.
• 悬链曲线. 用以描述重绳索、重链条悬挂的曲线.
在上述每一个问题中, 均已知曲线在每一点的切线斜率. 为了对解给出描述, 伯努利兄弟在每一种情形均构造了相应的微分方程.
兄弟二人中的哥哥——雅克布, 牢牢地占据着他们家乡巴塞尔大学数学系唯一的教授职位. 而他的弟弟约翰不得不去其他地方另谋出路. 这并不容易.1691 年旅行至巴黎之时, 约翰结识了弗朗索瓦·安东尼·德·洛必达侯爵 (Marquis Guillaume François Antoine de l’Hospital, 1661—1701).
侯爵是一位野心勃勃的数学家, 一心渴望学习最新的微积分知识. 1694 年, 他向伯努利发起了一个有趣的提议: 用 300 镑 (在当时, 这相当于一个非熟练劳动力年薪的 30 倍) 换取伯努利对于数学发现的出版署名权.
最后的结果是, 洛必达以自己的名义出版了《阐明曲线的无穷小分析》(Analyze desInfiniments Petits) 一书. 这是第一本全面地介绍莱布尼茨在微积分方面工作的著作. 此外, 该书还包含了对形如
的问题求解极限的方法, 这也就是我们熟知的洛必达法则.
我们至今仍不清楚 
形式的洛必达法则究竟是在什么时间被发现的.毫无疑问的是, 它已经出现在 19 世纪 20 年代柯西的分析课程中. 这或许是其最早被刊印的时间.
美国数学协会推荐读物，汤涛院士推荐
一堂“新角度”微积分数学课，带你回溯微积分的起源与思想发展历程
前美国数学协会会长、《高等微积分》作者戴维•M.布雷苏最新数学科普作品
•以“新角度”讲解微积分的数学课
聚焦微积分的起源与思想发展历程，结合数学学习模式和教育研究，以全新角度展现微积分的学习思路和方法，可作为对课堂教学的有益补充。
•展现数学思想的闪耀瞬间
从古希腊、古埃及、古印度、中国和欧洲等地的微积分思想，到牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、黎曼等伟大数学家的辉煌成就，看一看微积分这座“数学宝藏”是如何被塑造成今天的模样的。
•集数学、历史于一身的科普佳作
前美国数学协会会长、《高等微积分》作者戴维•M. 布雷苏最新数学科普作品，书中不仅重现微积分发展史中的重要时刻和四大思想主线，还会探讨重要的公式和定理。仅需微积分基础知识和对数学的好奇心，读者就能从中得到启迪。
《可视化微分几何和形式：一部五幕数学正剧》
作者：[美]特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）
译者：刘伟安
1.旧金山大学数学系教授，理学院副院长，牛津大学博士，与霍金齐名的诺奖得主罗杰·彭罗斯弟子特里斯坦·尼达姆经典巨作！
2.200多幅手绘示意图，将“微分几何”回归为“几何”，运用牛顿的几何方法对经典结果做出了几何解释。
3.原著豆瓣高达9.9分！被认为是“小说一般流畅的数学教材！”
4.译者为国内著名偏微分方程专家，武汉大学原校长齐民友老师弟子、武汉大学数学教授刘伟安老师。
《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》
作者：邓纳姆
译者：李伯民 汪军 张怀勇
本书荣获“第七届文津图书奖推荐书目”。
这不是一本数学家的传记，而是一座展示微积分宏伟画卷的陈列室。书中的每一个结果，从牛顿的正弦函数的推导，到伽玛函数的表示，再到贝尔的分类定理，无一不处于各个时代的研究前沿，至今还闪烁着耀眼夺目的光芒。
《普林斯顿微积分读本（修订版）》
《普林斯顿数学分析读本》
《普林斯顿概率论读本》
作者：[美] 史蒂文·J. 米勒、拉菲·格林贝格、史蒂文·J. 米勒
译者：李馨
风靡美国普林斯顿大学的数学课程读本，教你怎样在数学考试中获得高分，用大量例子和代码全面探讨数学问题提供课程视频和讲义。被誉为“普林斯顿读本”三剑客。