原文标题：这本书讲透了数学思维的深度！
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
- 兔子数列呈现出个位数周期性，周期为60。
- 任意两个个位数开头的兔子数列的个位周期不会大于100。
- 以两个连续个位数字开头的所有兔子数列的个位周期都与原序列的前60位个位周期相同。
兔子数列之美：
- 兔子数列与自然界中的多种现象（如向日葵花籽、蜗牛壳、细菌生长）密切相关。
- 兔子数列的神奇特性：前后数字之比无限接近黄金分割；其通项公式却包含无理数。
- 兔子数列在艺术、科学和技术领域有着广泛的应用（如蒙娜丽莎的比例、股票的波动、生物学的建模）。
用数学思维解决问题：
- 探索兔子数列的周期性时，需注意思考方法，从简单案例逐步推广，灵活运用已知规律验证猜测。
- 解决问题，不仅要给出正确答案，更要体验发现的过程，深入理解问题本质。
- 巧妙思考，借助规律，避免繁琐重复计算，提高效率。
怜星夜思：
2、如何激发孩子对数学的兴趣？数学思维能力对孩子的成长有哪些益处？
3、兔子数列与黄金分割的联系是否说明数学中存在某种神秘的力量？
原文内容
人生最终的价值在于觉醒和思考的能力，
而不只在于生存。
——亚里士多德
来源 | 《写给孩子的数学之美》作者：昍爸、昍妈
很多父母抱怨孩子学数学不会思考，看一眼题目，不会就放弃，根本不去想想和自己已经学过的知识有什么区别和联系，也不知道要先努力搞懂题目的意思，再尝试去解决。好的学习习惯和思维方式，不是一下子就能培养起来的，需要长期坚持。
-
拿到题目后，如果发现自己不熟悉这类题型，没思路……不要怕，拿出纸笔，画画，算算。
-
先从简单的情况开始解决，然后逐步推广，找规律，最后再去解决原来的问题。
-
解完题后想一想，这个解是否合理？是否还有其他解？是否可以将问题推广变化一下？
培养这些基本的思考和学习习惯，非常有利于培养大家的学习兴趣和探索精神。经探索后成功的喜悦，会让大家体会到思考的乐趣和成就感，这比直接告诉大家怎么做一道题要强百倍。一般而言，我们对认真探索过的题目，印象会更深刻。养成会思考和敢尝试的好习惯之后，理想的分数只是“副产品”。
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兔子数列
我们来探讨这样一个典型问题：兔子数列的个位周期性。小学三年级至六年级的孩子都可以在父母的帮助下来探索。
这个兔子数列的正式名字叫斐波那契数列（Fibonacci sequence）——大名鼎鼎！之所以这么叫，是因为意大利数学家斐波那契在引入这个数列时是这么介绍的：农民饲养的兔子总数会逐月按这个数列增加。兔子数列如下：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…
一个自然的问题是：满一年（第 12 个月）的时候，农民伯伯一共会有多少兔子？
观察这个数列的特点，可以发现：从第 3 个数开始，任何一个数都是它前面两个数的和。比如，第 3 个数 2=1+1，是第 1 个数和第 2 个数之和。同样，第 10 个数 55=21+34。于是我们可以推知，满一年时，即第 12 个月的兔子总数是第 10 个月和第 11 个月兔子总数之和，即 55+89=144。按这个规律，可以逐步求出兔子数列中任意一个位置的数，而且可以看出，这些数会越来越大，且增长迅速。
但如果仅仅这样介绍，是不会在大家脑海里留下多少印象的。于是，大家可能会遇到下面这样的找规律题目，来巩固理解：
(1) 1, 3, 4, 7, 11, 18, ____________, 47
(2) 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, ____________, …
我们应该容易看出来问题 (1) 的答案是 11+18=29。而且，我们可以按一个数等于前两个数的和来验证 29 是对的，因为 47=18+29。问题 (2)稍微难了一点点，这可以叫“三阶兔子数列”了，因为其规律是从第 4 个数开始，任何一个数都是它前面 3 个数之和。注意到这个特点，答案就是 7+13+24=44。
如果就学到这里，那还只能算作知识的灌输，属于一阶学习：大家只是学了一种有一定特点的数列，没太多印象，下次见了面能否认得出来还不好说。
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初步扩展
这时候，我们需要更进一步，进入二阶学习：兔子数列实际给出了一种构造数列的方法，即一个数可以由它的“邻居”数构造出来。这其实也是常见的找规律题。既然认识到这一点，我们何不发挥想象力，构造出不同的数列呢？比如，任何类似于下述规律的具体数列（简要起见，用 
表示数列的第n 个数）：
这样放飞想象力，大家可以在轻松愉快的气氛中学到数列的某些本质东西：前后数（即前后项）之间的关系。甚至，可以顺手把等差数列和等比数列引入进来。
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再次扩展
通过二阶学习的初步扩展，大家一般可以掌握三四成了，但我们还可以进一步加深学习和体会。这样就进入了三阶学习：实际体验和深度扩展。为什么兔子数列那么大名鼎鼎呢？它可不是浪得虚名哦，因为它和我们的日常生活和科学技术都有很多关系。我们在网上搜索一下，就会发现：
(1) 向日葵的葵花籽排列和数量满足兔子数列（图 4.1 左）；
(2) 蜗牛壳的曲线也跟兔子数列有关（图 4.1 右）；
(3) 某些细菌的生长数量也和兔子数列有关；
(4) 股票的价格变化也和兔子数列有关；
(5) 蒙娜丽莎画像等艺术品的比例也和兔子数列有关。
图 4.1 生活中的兔子数列
再回到数学上，兔子数列还有很多特殊的数学性质。
(1) 前后两个数的比值越来越接近黄金分割（近似值为 0.618）。
更严格地说，兔子数列的每一项都是正整数，但其前后项之比的极限却是黄金分割，而黄金分割是无理数。
(2) 兔子数列的每一项都是正整数，但它的通项公式却要用到无理数 
。
通项公式指用一个n的函数来表示第n项
，比如，等差数列的通项公式就是：
事实上，兔子数列的数学特性和应用非常多，甚至有一本杂志就是专门研究兔子数列的。
这样的学习体验和深度扩展，可以结合生活中的例子、阅读科普书以及观看科普视频开展。开展得好，有利于培养大家观察生活的好习惯，增强好奇心，提高学习兴趣。
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兔子数列个位数字的周期
在上面的三阶学习中，复杂的数学性质不太容易有效地被传递给低年级孩子，而仅仅满足于“科普”水平也显得不够——起于科普，但不能止于科普。我们还需要选择合适的问题来进行实际探索，发现并解决问题，这就是四阶学习。关于兔子数列，下面就是一个进行四阶学习的好题目。
兔子数列个位数字的周期性问题：考察兔子数列中每个数的个位是否有周期性？如果有，周期是什么？
我们会发现这个周期确实存在，但很长，是 60。在这个过程中，有几个问题值得关注：你能否快速准确地写出这几十个个位数？能否准确地找出周期？是否检查或验证至少一次？对于小学中年级的孩子来说，大家可能还需要父母帮些忙；但高年级的孩子如果能自己顺利完成，说明你们的学习习惯不错，值得赞一个！
在这个过程中，还有个“聪明的偷懒”方法：我们不需要写出这 60 多个具体的兔子数哦，因为我们在这里关心的只是它们的个位数字，否则到后面，每项的值越来越大，不好计算，容易出错。而这样的“偷懒”是值得鼓励的，这说明大家抓住了问题的一个关键——个位数字。具体来说，我们先逐个写出兔子数列各项的个位数字：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, 0, 9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, 0, 3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, 0, 1, 1, 2, 3,…
可以看出，兔子数列个位数字的周期是 60，因为从第 61 项起，个位数字又从 1, 1, 2, 3,…开始重复兔子数列的开头 4 个数了。但如果我们到此为止，满足于算出正确答案，那就浪费了一道好题目，更浪费了一次探索发现的好机会。这时，我们可以继续问几个值得思考的问题。
(1) 我们是怎么看出来周期是 60 的？
(2) 如果随便更改兔子数列的头两个数的个位数字，得到不同的具体兔子数列，那它们的个位数字的周期会是多少呢？
理解了问题 (a)，大家就能确认怎么找周期。在原始的兔子数列中，我们注意到，出现一个 1 不一定就意味着发现了周期。比如，第 8 项、第 19 项和第 22 项的个位数字都是 1，但 7、18、21 都不是周期，因为它们后边的数不能完整地重复出现数列的开头几项。进一步想想，为什么我们能确定周期一定是 60 呢？就因为第 60 项后面的 4 项重复了兔子数列的开头 4 项吗？这样一问，有些人可能就“懵圈”了，但他们也会开始思考：怎么说明 60 一定是周期呢？有什么办法？办法当然是有的。如果大家能自主说出下面两种方法之一，那就很棒了。
检查周期的方法一：继续算吧，看从第 61 项起能否把数列头 4 项及其之后的 56 项的个位数字都重复出来。这是可行的，但是比较累。
检查周期的方法二：其实，一旦第 61 项和第 62 项出现 1, 1，就说明后面各项会重复第 3 项至第 60 项的 58 个数的个位数字了！这是因为，兔子数列中的数是由其前面的两个数决定的，这样一来，第 63 项的个位数字一定等于 1+1，正好重复了第 3 项。接下来各项也一样。如果能领悟到这一点，可以说，大家进入了初步的“顿悟”境界，抓到了问题的一些本质特性。我们不但较深刻且简洁地掌握了兔子数列的本质，而且能初步体会发现的美和快乐。这样来解释数列的周期是 60，要比方法一高明很多。方法一是踏实的基本功，有必要，但是笨拙、不灵巧，也没有抓住本质。
确定了原始兔子数列的周期是 60 之后，我们就可以解决问题 (b) 了。这个问题就有些创新性和一定的研究价值了，就连大人也会感觉：“题目意思我懂，但该怎么解决呀？没见过类似的题目，也不知道可以用上什么方法。”
在尝试解答之前，大家不妨再次张开想象的翅膀，来猜测一下：如果有不同的开头项，那么兔子数列各项的个位数字会出现什么样的周期？我的猜想是：100 的因子或 100 以内与 100 的公约数大于 1 的数。这个猜想其实有点儿快进了，怎么会一下就说到 100 了呢？因为我已经看出来：
规律 (1) 不同的开头，兔子数列的个位周期不会大于 100。
大家思考一下，兔子数列完全由头两项决定，所以只要在后面的位置上，头两项再次出现，周期就出现了，因为其后一定会重复其余的部分。而前后两项的个位数字的不同排列一共只有 100 种可能，我们把数字连写来表示连续的个位数字，即 00, 01, ..., 98, 99。这样一来，最多把这 100 种不同的排列全部展示后，就一定会出现重复，所以周期不可能大于 100。换句话说，以任意两个个位数开头的兔子数列，其周期都只能是 1~100 中的某个数。
领略到这一点，我们对兔子数列的认识又高了一个层次，因为这让我们对一下摸不着头脑的问题 (b) 有了一个思索范围：以任意两个个位数开头的兔子数列的个位周期都小于或等于 100。
这是一个简要而有力的断言，使得我们对问题的整体有了感觉：这些周期没那么大，只在 100 以内。在数学中，这样简要而有力的著名断言和猜想有很多，比如勒让德猜想，即任意两个连续的平方数之间至少存在一个素数；再如 
猜想，即存在无穷多个形如 的素数，其中n是正整数。这两个猜想与前文提到的哥德巴赫猜想和孪生素数猜想一起，合称为“兰道问题”。
知道了以任意两个个位数开头的兔子数列的个位周期都小于或等于 100，就像知道了一座商场外在的大小和样子，但距离我们了解整座商场还差一大截，比如，商场每层都卖什么东西呢？里面的布置如何呀？对于兔子序列的周期也一样，我们现在要继续研究它的细节，这就是问题 (b)。但我们现在可以把问题 (b) 细化，问得更具体一点，变成下面的问题：
(c) 以任意两个个位数开头的兔子数列，都有哪些周期？周期可以是 1~100 中的任何数吗？最大周期是多少？最小周期是多少？100 以内的数有没有被跳过的？
回顾一下，现在我们已经知道每个这样的周期都只能是 1~100 中的数，而且以 11（我们还是把数字连写来表示连续的个位数字）开头的兔子数列，其周期是 60。由于两个不同个位数的开头只有 100 种情况，即 00, 01,…, 98, 99，因此其周期最多也就能对应到 1~100 这 100 个数。所以最特殊的情况是，每一个开头对应一个不同的周期，也就是说，不同的开头对应不同的周期。而如果某些不同的开头对应了相同的周期，那一定有些可能的周期数被跳过。
没有人告诉我们更进一步的信息，那我们就自己来找出这些周期吧！一共有 100 种不同的开头，周期最大也不会超过 100。把每种情况都算出来可能会有点累，但也不是做不了（可能花上一个下午）。现在就按本章开头所讲的思路来做：先从简单的情况开始解决，然后找规律，逐步推广，最后再去解决完整的问题 (c)。最简单的两个个位数开头肯定是 00，于是我们很容易就能列出对应兔子数列的个位数列。
00 开头：000000…
都是 0 呀，因为第 3 项的个位数字起，都是 0+0=0。所以，以 00 开头的周期就是 1。太简单了！那现在来看第二个开头——01。
01 开头：0112358314…
这里我们只列举出了该个位数列的头 10 项，就可以发现它只是比以 11 开头的数列多了第 1 项 0，其他位置就是重复以 11 开头的数列了。思考一下，这是什么意思？是否就此可以断定，以 01 开头的数列周期一定是 60 或 61 呢？思考并解决这个疑问，我们就会得到结论：以 01 开头的周期也是 60，因为根据兔子数列中的一个数完全由它前面的两个数决定这一特点，一旦第 2 项和第 3 项出现的是 11，后面的数字就是重复开头为 11 的数列。这样，我们再一次“偷懒”，没有完整列举以 01 开头的完整数列，就判断出其周期是 60。其实，完整算出这整个周期也没问题，只是辛苦一些。到此，我们就发现以 00 开头的周期是 1，而以 01 和 11 开头的周期都是 60。
接下来，我们就要急着去找以 02 开头的数列的周期吗？
不，这里不该着急，而是要停下来想一想：为什么以 01 开头和以 11 开头的数列的个位周期都是 60？还有以其他数字开头的数列也具有周期 60 吗？再思考一下，孩子或许就能发现：
规律(2) 原始兔子数列个位的前 61 个数字串中，以任意两个连续的数字开头的兔子数列，其个位数字的周期都是 60。
比如，我们刚发现 01 就是以 11 开头的原始兔子数列的第 60 项和第 61 项的组合。同样，第 2 项和第 3 项的组合是 12，第 3 项和第 4 项的组合是 23，于是以 12 和 23 开头的兔子数列，其周期也是 60。原因是什么呢？其实并不复杂，因为这是周期的特点。如同一个星期有 7 天，这也是一个周期，我们可以说，从本周一到本周日（两边都包含）是一个星期，也可以说，从本周二到下周一是一个星期，或者，从本周三到下周二是一个星期，等等。
规律 (2) 这个关于周期的一般性认识，不仅加深了我们对周期性的理解，而且，我们马上就可以得出一大批周期是 60 的不同开头组合——整整有 60 个呀！兴奋吧？因为我们又一次聪明地偷了懒：这 60 个不同开头的周期不用一个一个去算了，都是 60。
这样，在一共 100 个不同的开头中，需要再研究的情况只剩 39 个了（不要忘记，我们也知道以 00 开头的周期太简单了，就是 1）。现在，我们要做的自然就是找出下一个不知道周期的开头。哦，为了找出这个开头，我们需要做点儿统计工作。表格是帮助我们进行有序思考的最好帮手之一，不妨拿出坐标纸或方格纸，画一个 10×10 的表格，我们把它叫作周期表。然后，把 00 和所有周期为 60 的开头都填写进去，并做上不同的标记。这样我们马上就看出，下一个不知道周期的开头是 02。计算一下，我们会发现这个开头对应的周期是 20——一个新的周期。
02 开头对应的周期是 20：02246066280886404482 02…
毫不奇怪，我们自然可以再用规律 (2) 推知，还有 19 个不同开头的数列，其个位数字的周期也是 20。这些不同的开头就是在以 20 开头的序列中，前 21 项里任意两个连续位的组合，也就是说，除了 02，还有 22, 24, 46, 60, 06, 66, 62, 28,…。于是，我们又找到了 20 个周期为 20 的开头组合。收获不小吧！把这些数逐个填入周期表中，空位就只剩 19 个了。
继而，我们看出 05 开头的周期还不清楚，但这个非常简单。
05 开头对应的周期是 3：055 055 0…
再次用规律 (2)，我们就知道：05, 55, 50 这 3 个不同的开头对应的周期都是 3。把它们也填在表中，这样就还剩下 16 个开头对应的周期是我们不知道的了。接下来，如法炮制，找出现在第一个未知周期的开头是 13，就可以找出 12 个周期是 12 的不同开头——又逮住一“小窝”！原因如下。
13 开头对应的周期是 12：134718976392 13…
把这些数填入表中，乘胜追击，就可以找出最后 4 个周期是 4 的不同开头，分别是 26, 68, 84, 42。原因如下。
26 开头对应的周期是 4：2684 26…
至此，我们可以开心地庆祝胜利了：我们彻底解决了以不同个位数开头的兔子数列个位数字的周期性问题，即圆满回答了原始问题、问题 (a)、问题 (b) 和问题 (c)。最后总结一下主要结论。
规律 (1) 满足第一项和第二项是非负整数且后一项是前两项之和的兔子数列，其个位数字的周期不会大于 100。
规律 (2) 如果以两个个位数字
开头的兔子数列的个位数字的周期是n，我们记该个位数列头n个数字为
，那么以
开头的这n个兔子数列的个位数字的周期也都是n。
规律 (3) 所有以两个个位数字开头的兔子数列一共有 100 个，其中 60 个数列的个位数字的周期是 60；20 个数列的周期是 20；12 个数列的周期是 12；4 个数列的周期是 4；3 个数列的周期是 3；1 个数列的周期是 1。因此，这些兔子数列个位数字的最大周期是 60，最小周期是 1。除了 1, 3, 4, 12, 20, 60 之外，其他的数都不是周期。
01
《写给孩子的数学之美》
作者：昍爸、昍妈
本书从孩子们感兴趣的数学知识出发，以代数（数论）和几何为基本知识点，阐述了运算、逻辑、证明、归纳、类比、递归、数形关联等简单、实用而经典的数学思维，向读者们展现数学丰富多变的形式之美、简洁精确的逻辑之美、数形结合的奇妙之美、解答万物奥秘的创造之美。
作者力图以孩子们能读懂、能理解、感兴趣的语言和形式，展现数学的非凡魅力，同时拓展读书的知识面，引领大家学会思考，喜爱思考，让数学成为知识的宝库和攀登思维高度的阶梯。
02
作者：[法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）
译者：欧瑜
惊讶！是思考的起点；
数学，是理解世界本质与万物关联的工具！
以数学为起点，以思考为快乐！
法国数学学会“达朗贝尔奖”得主科普名作。
数学，是理解世界本质与万物关联的工具，它能制造两个指南针：一个叫“实用”，一个叫“优雅”。不懂得数学的意义，就无法真正学习和理解数学。
科学家为什么那么聪明？因为他们有非凡的思考方法。
以数学为工具，以思考为快乐；培养自己的思考力、观察力，成为真正的思考者。
03
