原文标题：图灵与维特根斯坦：天才的较量｜纪念图灵诞辰112周年
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
**图灵与维特根斯坦的论争**
1939 年，计算机科学巨匠图灵和语言哲学大师维特根斯坦在剑桥大学展开了一场思想盛宴，围绕数学证明、悖论和计算等话题展开激烈讨论。
悖论的本质
- 维特根斯坦认为说谎者悖论等悖论只是无意义的语言游戏，不会对数学产生威胁。
- 图灵指出，由于悖论会导致不确定性，因此在实际应用中可能会出现问题。
- 维特根斯坦强调数学中的矛盾不必感到恐慌，因为它们不同于物理定律中的错误。
构造性证明
- 维特根斯坦认为“画正七边形”是一个无意义的命题，因为它无法通过给定有限的指令来完成。
- 图灵主张只有当存在一组指令来执行该操作时，才能证明一个命题有可能。
- 维特根斯坦反驳说，如果我们发现一个不同的过程来画正七边形，那么原始的命题是否仍然成立。
计算与实验
- 维特根斯坦将数学发现与科学实验进行了类比，认为它们都是通过观察规律并寻求证明的过程。
- 图灵强调计算与实验之间的相似之处，即它们都旨在确定最终结果。
- 维特根斯坦坚持认为，当规则没有预定义结果时，我们才能称之为实验，而不是计算。
证明的复杂性
- 维特根斯坦认为数学命题是没有时间因素的，而图灵提出“证明复杂性”的概念，即证明一个命题的难度可能随时间而变化。
维特根斯坦对图灵的影响
尽管图灵和维特根斯坦在某些观点上存在分歧，但维特根斯坦对图灵的严格性和思考深度产生了影响。
图灵的传承
虽然维特根斯坦不认可大学教学，但他的思想却通过他的学生代代相传。另一方面，图灵留给世界的不朽遗产——计算机，则深刻地影响了人类的现代生活。
怜星夜思：
1、图灵认为维特根斯坦对悖论的看法过于乐观，你认同吗？
2、维特根斯坦认为用圆规和直尺无法画正七边形，但有人宣称突破了他的限制，你怎么看？
3、有人认为图灵的思想过于超前，以至于同时代的人难以理解。你认为这种说法合理吗？
2、维特根斯坦认为用圆规和直尺无法画正七边形，但有人宣称突破了他的限制，你怎么看？
3、有人认为图灵的思想过于超前，以至于同时代的人难以理解。你认为这种说法合理吗？
原文内容
在 20 世纪的剑桥，我们目睹了一场思想的盛宴：艾伦·图灵，“人工智能之父” 计算机科学的先锋，逻辑的剑客，他以图灵机和图灵测试定义了一个新时代；而路德维希·维特根斯坦，哲学界的拳击手，以其深邃的《逻辑哲学论》和《哲学研究》革新了语言哲学。
这两位天才在 1939 年的剑桥数学基础课堂上展开了一场激烈的“对掐”，他们就数学证明的本质、悖论问题以及计算过程进行了深入的讨论和较量。这场智慧的碰撞被记录在《维特根斯坦剑桥数学基础讲义》中，不仅展现了他们对逻辑和语言的深刻理解，也成为了科学与哲学交汇的历史见证。
今天是图灵诞辰 112 周年，我们重温一下这场对决，缅怀他为我们留下的宝贵财富，致敬他对知识的追求和探索。这场思想的碰撞，无疑给我们带来了无尽的启发和思考。
英国老式的教授系统是，老同志不退休，后面的讲师甭管多“高级”，也得熬着。上个世纪，英国大学一个系一般只有两到三位教授，现在在美国高校系统影响下，人数略微增加。教授再下一级的职称就是 Reader（准教授，或者“如教授”）和高级讲师了。
维特根斯坦 1929 年重归剑桥，当时去火车站接他的凯恩斯私下跟自己老婆说：“上帝来了。”但“上帝”在剑桥熬了十年，才升成教授——那还是因为剑桥的另一位大佬摩尔（Moore）退休，给维特根斯坦让出位子。
维特根斯坦此时已经年届五十了。维特根斯坦出生于欧洲最富豪的家庭之一。像他的家庭成员一样，他有极高的艺术品位，尤其在音乐上。但他在读了弗雷格（Frege）的《算术基础》和罗素的《数学原则》（Principles of Mathematics）（注意，不是同怀特海合著的《数学原理》，Principia Mathematica，从某种意义上说，《数学原则》是《数学原理》的热身）后，他的兴趣转向逻辑。他在一个夏天跑到耶拿找分析哲学的鼻祖弗雷格。
（维特根斯坦）
弗雷格把他推荐给了罗素，于是他成了罗素最出名的学生。他在一战时当兵期间写了《逻辑哲学论》，深刻影响了英美系和欧洲的维也纳学圈。朋友兼学生马尔科姆（Malcolm）第一次见到维特根斯坦是在 1938 年，他觉得大师年轻，看上去只有 35 岁左右。其实维特根斯坦是长得少兴，也爱捯饬。
1939 年，维特根斯坦在焦急地等待着消息：自己是否能被提名为摩尔的继承人。很多人，包括罗素，倾向于把维特根斯坦描绘成不食人间烟火的仙人，但面临剑桥的一个教授位置，维特根斯坦也沉不住气，他很担心另一位候选人被提名。
正是在这种忐忑心情中，他开讲数学基础课。这是一门关于数学哲学的课，基本是他转型期的各种思想杂烩。课时是一周两次，每次两个钟头。维特根斯坦回剑桥后，上课只在自己房间，不去教室，来听课的学生自带板凳，要不就坐地板上。“只闻来学，未闻往教”说的就是维特根斯坦。
比维特根斯坦年轻 23 岁的图灵此时 27 岁，是数学系的小字辈。图灵 1936 年发表了那篇其重要性用任何形容词都不会过分的文章《论可计算数》，奠定了整个计算机科学及相关所有数学和哲学的基础，但其价值当时并没有显现。
图灵的老师纽曼称图灵是“应用数学家”，这有点令人吃惊，因为现在看图灵的工作都是基础性的：逻辑、代数、概率论。但图灵的兴趣确实广泛，他解决问题的方式是工程师式的，这点从“图灵机”可看出，而且他最后的学术工作的大部分和造实际的计算机有关。这其实也没什么，维特根斯坦不也是工科出身嘛。
图灵被纽曼推荐给美国普林斯顿的数学家、逻辑学家丘奇，丘奇认识到图灵那篇文章的意义，在他主编的《符号逻辑杂志》上写了篇关于图灵1936年文章的评论，丘奇在评论中头一次使用“图灵机”来指图灵发明的装置。后来大家把丘奇和图灵工作的一个推断称为“丘奇–图灵论题”。这个论题断言图灵机就是最强的计算装置。这只是一个工作假设，没法数学地证明为定理，又大于物理地总结为定律的东西。从实践上看，人类想出来的所有计算装置和逻辑装置，如丘奇的λ 演算、Post 系统、哥德尔递归函数，都和图灵机等价。也就是说，一帮最聪明的大脑，独立想出来的东西，其实是一回事，英雄所见略同。
20 世纪 50 年代，乔姆斯基发明形式句法后，大家又证明乔姆斯基 0 型文法和图灵机等价。细想想，在某种意义上，只能例示但不能证明丘奇–图灵论题，恰是唯心和唯物的鸿沟。这是整个计算机理论和人工智能以及若干潜在新学科的起点。
图灵在丘奇的指导下得了个普林斯顿的博士学位。那时拿美国学位到英国教书是一件稀罕事，大部分的大脑流动是反方向的。图灵回到剑桥申请讲师未遂，只好接着当研究员。1939 学年，图灵接替他的老师纽曼讲“数学基础”。尽管有了图灵机的贡献，但与维特根斯坦相比，图灵此时尚是无名小卒，他是在看了学校的课程表后才知道维特根斯坦要开一门同名课程，于是决定旁听，去会会这位大名鼎鼎的人物。故事就从这儿开始了。
维特根斯坦活着的时候，只出版过一本《逻辑哲学论》，发表过一篇文章和一篇文风刻薄的书评。他的十几卷本的文集大部分是死后出版的，内容一方面是他的笔记，另一方面是他几个亲信学生的笔记。
维特根斯坦这学期数学基础的讲课内容，在他去世二十多年后被他的几个学生整理成了书：《维特根斯坦剑桥数学基础讲义，1939》。图灵和维特根斯坦的对话构成该书的很大一部分内容，图灵的发问最精彩（尼克，2014）。它给了我们机会，看看两个聪明人，就他们共同关心的话题是如何斗智斗勇的。顺便寄语一句中青年女读者：维特根斯坦是金牛座，图灵是巨蟹座。
维特根斯坦的坏脾气众所周知，在剑桥读书时就和老师罗素磕磕碰碰，掐架是家常便饭，从不给人台阶下。摩尔在道德科学俱乐部发表了一篇文章，那时发表论文都叫“宣读论文”（read a paper）。尽管现在进步了，大家都会使 PPT 了，但很多人还是喜欢拿个“小抄”念稿，都是当年“宣读”的流毒。
摩尔论文说的是人可以知道自己的感觉。这和维特根斯坦的观点相左，维特根斯坦认为知识和确定性无法应用到人的感觉上，通俗地说，就是经验和理性没法联系起来。摩尔宣读论文时，维特根斯坦赶巧不在，第二天听说了摩尔的观点，带着几个学生直奔摩尔的办公室，说：“你为啥在我不在时妄言与我观点不同的观点，当着各位老少爷们，有种再宣读一遍。”
摩尔仗着岁数大，而且马上要把教授座位禅让给维特根斯坦，就真把论文重念了一遍，话音还没落地，维特根斯坦就一通乱骂，把摩尔批得体无完肤，摩尔真是秀才遇见兵，但他有贵族气，不和维特根斯坦一般见识。
维特根斯坦和人掐架一般不动手，一次可疑的例外是 1947 年和卡尔·波普尔（Karl Popper）。波普尔到剑桥去读篇论文，听众中有罗素和维特根斯坦等人。波普尔和维特根斯坦一言不合，就起了冲突。据说维特根斯坦边说边冲着波普尔挥动手里的拨火棍。
大部分当事人早把这事忘了，但事发后，波普尔马上给所有他认识的欧洲哲学家满怀欣喜地写了封信，开头就是：“我被打了，是维特根斯坦打的，地点是在被罗素霸占的牛顿办公室。”大部分哲学家的私生活其实很平淡，闹点八卦不容易。于是一点破事，几十年后还被无聊地写成书，以讹传讹。
为什么维特根斯坦与波普尔对掐了半个小时，就有人八卦了一本书；而维特根斯坦和图灵智力交锋了一学期，却没人评论？可能是维特根斯坦与波普尔的对掐有戏剧性、有动作（一个拿着拨火棍追另一个）。另外，波普尔比较会营销，找名人掐架自然会抬高自己。现在看起来，微博上这点雕虫小技也是人家玩剩下的。
没人关注的另一个原因是学术的。维特根斯坦一生的传世之作是《逻辑哲学论》（前期哲学）和死后出版的《哲学研究》（后期哲学）。其实在这两本书之间的转型期，他研究最多的是数学哲学。除了《维特根斯坦剑桥数学基础讲义，1939》和《数学基础评论》（Remarks on the Foundations of Mathematics）之外，其他几本后人整理的著作和谈话录也是以数学哲学为主题。
逻辑学家克赖泽尔是维特根斯坦尊重的学生和朋友，也是哥德尔的好友，还是《哥德尔全集》的编委之一。他认为维特根斯坦这期间关于数学哲学的工作是无聊的（insignificant），浪费了他宝贵的大脑。他这话是 20 世纪 50 年代说的，那时，数学中构造主义还没开始流行，计算机科学尚不存在。现在似乎有人主张重新评估维特根斯坦的数学哲学。
维特根斯坦的早期著作喜用格言体，即使《逻辑哲学论》这样严谨的著作也如此。但格言体使得内容被极大地压缩，经常导致歧义，这反而给那些一点数学都不懂的人提供了诠释的机会。
而维特根斯坦的其他著作也多是微博体，如“我背着沉重的哲学包袱，爬行在数学的山路上”。这句话，把“哲学”和“数学”代换成其他名词，如“国学”和“佛学”，“代笔”和“抄袭”，“文盲”和“作家”，照样好使。格言体解读起来着实费劲。
在《维特根斯坦剑桥数学基础讲义，1939》中维特根斯坦就没那么文艺了。对于一个数学家（如图灵），歧义不是什么好事。你来我去的对话，减少了格言体语言的晦涩，它表达的思想，相对于文体，变得更重要。对话的好处是没有黑话，全直来直去。此时，反而是那些可以滔滔不绝就《逻辑哲学论》和《哲学研究》说三道四或故作深沉的人集体失言，生怕露怯。
下面说几个他们对话的例子。原文太长，枝节繁多。维特根斯坦（这里简称“维特”）的授课方式是苏格拉底式的，不备课，也没有讲稿，随着性子来，跑题是常态。这里是我的通俗的、总结性的转述。
关于悖论
维特：说谎者悖论“我正在说谎”，我没说谎，所以我说谎；我说谎，所以我没说谎。这种车轱辘话，你可以一直说到小脸发青。但这只是个没意义的语言游戏而已。也不知道大家为啥会对这个悖论那么激动。
图灵：让大家困惑的是，一般情况下，有矛盾肯定就是出错了，但在这个例子中，大家不知道哪儿出错了。
维特：哪儿也没出错！哪来的危险？
图灵：在实际情况下，桥会塌的。
维特：这里要分清数学矛盾和非数学矛盾。如果桥塌了，那是物理规律出错了。但数学中有矛盾，有什么可怕的？
图灵：如果你不知道你的演算是不是有矛盾，怎么能信任你的计算结果呢？
维特：哦，那你的意思是说，因为有了说谎者悖论，2 乘 2 就不等于 4 了，就等于 369 了，是吗？好，如果如此，那就不能管这叫“乘法”。
图灵：如果没有矛盾，桥不一定会塌，但如果有矛盾，肯定会出错。
维特：但以前还没有因为这事儿出过错呀。
构造性证明
维特：“史密斯画了一个正五边形”不是一个几何命题，而是一个实验命题，它可能真，也可能假。但是“史密斯画了一个正七边形”是真命题还是假命题？（注：用圆规和直尺画不出一个正七边形或正七角形，这就像尺规不能三等分一个角。）
图灵：毫无疑问，假命题。
维特：那这两句话为什么如此不同呢？也许我们应该换一种说法：“有可能画一个正五边形”“不可能画一个正七边形”。因为不可能画一个正七边形，所以“史密斯画了正七边形”是一个假命题。图灵的意思是说只借助圆规和直尺不可能画一个正七边形。我们怎么证明一个五边形是正五边形，一种办法是用量角仪和直尺去验证，还有一种办法就是看一下画的过程，画的过程就是一种验证。
图灵：还有其他的原因。
维特：是，那不是唯一的原因，但如果把你的“其他原因”强加到这个过程中，画出来的不是正五边形，我们还能管这个过程叫“画正五边形”吗？当我们说不能数学地画一个正七边形时，到底是啥意思？
图灵：就是说我们不能给出一系列画正七边形的指令。
维特：但是一个人真要画出一个正七边形，我们又怎么说？我们说他没有遵照我们的“指令”？数学上证明不可能画出一个正七边形所取得的结论是排除了“画一个正七边形”这一短语，所以“史密斯画了一个正七边形”这句话不是假的，而是无意义的。
我们用实验的理由排除了它，尽管“不可能画一个正七边形”这句话不是一个实验的语句。也许我们可以给出指令去画一个正七边形，但这个指令序列是无穷长的。如果说我们可以证明有可能画一个正五边形，我们证明的是什么样的可能性？是目的（一个正五边形）还是手段（画这个正五边形的过程）？
图灵：当然是画的过程。碰巧画出来一个，那不算。
实验 vs 计算
维特：数学家观察到一些规律，然后企图证明这些规律是必然的。这好像同我的观点有些矛盾：数学中的发现其实是发明。当然，你可以再问：一个小孩做算术，25 乘 25 等于 625，他不过是发现而已，没发明什么。说小孩发明数学事实，是不对的。但我们在此可以做个类比，发现一般是通过做实验。那做算术的小孩是在做实验吗？
图灵：对一个熟悉乘法表的人来说，这不像做实验吗？
维特：计算也有结果，实验也有结果，但它们是一回事儿吗？如果结果算错了，咋办？
图灵：如果算错了，那实验应该以不同的方式安排。
维特：哦，你的结果都是安排来的？当规则没有预设必然的结果时，当事先并不知道对错时，这是实验。当然，如果你非要在一种更加宽泛的意义下使用“实验”一词，我也拦不住你。
图灵：那我们比较下物理实验和数学计算。一种情况，有个天平，你在一端放砝码，然后找平衡。另一种情况，给你两个数和一些表（如乘法表），然后你在表里头找结果。
维特：听起来这两种情况蛮像的，但到底像在哪里呢？
图灵：人们都想看看最终会发生什么。
维特：假设人们发明一种新的算术，2 加 2 等于 4 是这样证明的：拿个天平，在一边先放俩东西，再放俩东西，在另一边放 4 个东西，如果平了，就证明是对的。那如果你在一边放了两个球，再放两个球，在另一边放 4 个球，天平没平，你只得在一边再多放一个球，天平突然平了，那是不是 2+3=4 ？如果我们每次做乘法，每人都得出不同的结果，那还能管这叫计算吗？
维特：什么是计数？
图灵：如果你想给我们每个人 4 个小面包，你清点人数，一，二， 三，好了，然后你买了 12 个，这就是计数。
维特：数出班里有多少人和数出一个五角形有 10 个交点，是两种计数。前一个不是数学命题，后一个是数学命题。在后一种情况下，你能说：根据定义，五角形有 10 个交点？
证明复杂性
维特：数学命题都是没有时间因素的，而其他命题（如物理命题）则是有时间因素的。
图灵：那当我说“这个命题很难证明”时，这有时间因素吗？
维特：这句话可以有时间因素，也可以没有时间因素。如果没有时间因素，这句话就是一个数学命题。你说的那个命题可以有一个度量，比如证明那个命题的长度、证明的步数，等等。比如说：那个证明需要 60 步。但你那句话也可以有时间因素，比如，“现在这个证明需要很多很多步”，这意味着现在没法用更少的步数来证明那个命题。又比如，“我现在喝高了，不能证明那个命题”，这句话就不是数学命题。
关于悖论。维特根斯坦总结弗雷格的公理定义，公理有两种意义：一、游戏的规则；二、游戏的开局。但是当两条规则发生矛盾时，该怎么处理呢？比如，如果 0 不等于 0，那么根据魏斯曼（Waisman）的解释，你可以引入新的规则来避免矛盾。维特根斯坦在评论哥德尔不完全性定理时说：矛盾不一定就是有害的。
我们语言里有这种东西，并不见得就使语言不可用了，矛盾存在的价值就是它能折磨人。维特根斯坦 1939 年讲课时说：“如果矛盾是隐藏的，那就无所谓，即使某一天它被暴露了，那也无害。”哥德尔从王浩处听到维特根斯坦对不完全性定理的评价，深不以为然，他说：维特根斯坦要么是真不懂，要么是装不懂，真不知道图灵在和维特根斯坦的讨论中能得到什么。
关于构造性证明。维特根斯坦认为命题的意义就是这个命题的证明，一个命题如果没有证明，就没有意义。而证明又有存在性证明和构造性证明，维特根斯坦对存在性证明不以为然，他常用的例子是 n 次方程有 n 个根的存在性证明。
一般认为维特根斯坦的数学哲学里有有限主义、构造主义和一部分约定主义，从而是反柏拉图主义的，或反实在论的。但普特南认为维特根斯坦的观点并不是反实在论的，而是一种“常识实在论”。
维特根斯坦在 1930 年的《哲学评论》中说：“无限序列只是有限序列的无限可能性，而把无限序列当外延那么谈是无意义的。”是拉姆齐（Ramsay）让维特根斯坦意识到无限的复杂性。
关于“计算 vs 实验”。维特根斯坦的传记作家蒙克很困惑图灵为什么不直接用图灵机来反驳维特根斯坦，图灵机清楚地解释了图灵所说的计算和实验之间的关系。也许图灵认为维特根斯坦并不知道图灵 1936 年的那篇文章，不愿意反客为主，枉费口舌。
而现在的证据表明维特根斯坦在 1939 年已读过图灵 1936 年的文章，并且有评论：“那不过是人在计算而已。”当我们设计算法解决问题时，自然认为这是数学手段而不是物理手段，没人关心一台计算机做矩阵乘法涉及了多少原子运动。当然，有人可以说量子图灵机，这个扯远了。
关于证明复杂性。在维特根斯坦和图灵的上述对话中，貌似二人在 1939 年就已想到此问题。计算机科学这样年轻的学科，没多少人研究历史。但对于计算复杂性这样的大是大非问题，还是要正本清源。
数学家、科普作家约翰·卡斯蒂（John Casti）写过一本科学小说《剑桥五重奏》。注意科学小说（scientific fiction）不同于科幻小说（science fiction），科幻小说不科学。小说的背景是 1949 年春夏之交的某一天，那位提出“两种文化”的剑桥教授斯诺，邀请了另外四位剑桥人到家里吃饭喝酒，主要客人是图灵和维特根斯坦，围观的有物理学家薛定谔（Schrödinger）和遗传学家霍尔丹（Haldane）。
聊天的主题是：“机器能思考吗？”卡斯蒂了解这五位的立场和观点，尽管这书是虚构，但比那本号称是八卦考证的《维特根斯坦的拨火棍》来得更写实。在卡斯蒂笔下，图灵当然认为机器能思考，薛定谔更加同情图灵，而维特根斯坦则站在图灵的对立面。
在《维特根斯坦剑桥数学基础讲义，1939》中，维特根斯坦在谈到“逻辑机器”时，粗暴地说：根本就没这回事。如果这话是针对图灵机说的，那他真是看走了眼。
维特根斯坦给人留下的印象是对老师（如摩尔、罗素）不敬，对同辈（如卡尔纳普，Carnap）戒备，对后辈蔑视。但从和图灵的对阵却看出他对图灵少有的尊敬。一般台下的人比台上的人更具进攻性——因为要表白，要搏上位。经常听到的有“请容许我代表亚洲人民”，等等，台上的人被问得一愣一愣的。
但在图灵–维特根斯坦的对掐中，倒是台上的维特根斯坦一直在企图向台下的图灵证明什么，想得到图灵的认可。对图灵的一个小问题，维特根斯坦的回答都是长篇大论。从中我们似乎看出维特根斯坦可能满头是汗，而图灵可能面无表情，但是不是想扔鞋就不知道了。
维特根斯坦每次讲完课都精疲力尽，因为他不光讲课，还发火，而且讨论班的授课方式要求注意力格外集中。散课后，他经常到附近的电影院看场电影，坐第一排，边看电影边啃面包和冷猪排。
这学期结束，二战爆发，维特根斯坦被正式提名为摩尔的接班人。而图灵则被秘密调入情报部门开始针对德国的密码破译工作，图灵其实没有出现在维特根斯坦的最后几次课中，也没有证据表明他们之间此后发生或保持过任何关系。
维特根斯坦相信一个人不能同时是大学老师又严肃诚实。他劝其学生去当手艺人而不是搞学术。哥德尔可能会说维特根斯坦教的那些东西会把本想当公知的人也都教成手艺人了。维特根斯坦的所有学生都深受其影响，后来当了老师后，也都学维特根斯坦的姿势和语气。
维特根斯坦对图灵的影响，却看不出来；而图灵对维特根斯坦的影响则有迹可循。1950 年图灵那篇《计算机与智能》刚发表，重病之中的维特根斯坦已经注意到，他对学生马尔科姆说：“我还没看呢，但估计那不是闹着玩的。”
维特根斯坦的方法中批评多于构建，批评就是找碴、掐架。他越老，找碴的痕迹越重。哥德尔晚年一次同王浩聊天时，以鄙夷的口气问王浩：“维特根斯坦在《逻辑哲学论》后到底干了些啥？”
哲学家、无神论者丹尼尔·丹尼特（Daniel Dennett）在评价图灵–维特根斯坦之争时说：“图灵貌似天真，但他给后世留下了计算机，而维特根斯坦呢？他给我们留下了……呃……维特根斯坦。”
《理解图灵》
尼克｜著
人工智能之父不被定义的一生。图灵 1936 年的文章《论可计算数》奠定了计算机科学的基础；而其 1950 年的文章《计算机与智能》则开启了人工智能，此文开头提到的“模仿游戏”后来被称为“图灵测试”。本书以注释形式对《计算机与智能》进行了细致解读。