原文标题：分形几何之父曼德勃罗：他用一幅数学图像震撼了整个数学史！
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
**曼德勃罗集：大千世界的指纹**
曼德勃罗集，一幅震撼数学史的图像，它是分形几何之父——曼德勃罗的杰作。分形结构广泛存在于自然界，它们自相似，无论放大多少倍，都能看到相似的图案。
曼德勃罗集的生成
曼德勃罗集是由迭代一个称为“曼德勃罗多项式”的函数而生成，不同复数的c值对应于不同的迭代序列。当序列收敛时，相应的c值属于曼德勃罗集；当序列发散时，c值不属于曼德勃罗集。
曼德勃罗集的特性
曼德勃罗集无穷无尽，拥有无限的细节。它是一个分形结构，处处自相似，并且不会相交。曼德勃罗集的面积尚未有解析解，但已知它小于以2为半径的圆。
曼德勃罗集的意义
曼德勃罗集的发现开创了分形几何这一新的数学分支。它向人们展示了大千世界的复杂性和无穷性，并激发了对自然规律的新思考。曼德勃罗集也被誉为“上帝的指纹”，其无穷无尽的细节让人们窥见宇宙生成的奥秘。
怜星夜思：
1、曼德勃罗集的发现对数学领域有哪些重要意义？
2、分形结构在哪些自然现象中常见？
3、曼德勃罗集的实际应用有哪些？
2、分形结构在哪些自然现象中常见？
3、曼德勃罗集的实际应用有哪些？
原文内容
这是数学史上最震撼人心的图片之一，因其神似佛陀，又被称为曼德勃罗大佛。
如果你了解它是如何产生的，可能会更惊叹，数学居然能让人看到：一花一世界，一叶一如来。
这副震撼人心的图像，就是出自分形几何之父——曼德勃罗之手。
曼德勃罗个人经历丰富，1924年，出生于波兰，为躲避纳粹的迫害，逃难到法国，在那里学习数学。虽然他从小学习断断续续，但素描却画得很好，而且他有一种将代数问题转化为直观几何问题的天赋。
二战后，他受冯·诺依曼的邀请而前往美国，他研究过经济学、流体力学，还在IBM公司担任研究员长达35年之久。
他在检视棉花价格数据时，发现每日价格变动的曲线和月度价格变动的曲线居然高度相似。
他在研究IBM电脑间传递信息中的噪音问题时，发现无论在一小时还是在一秒钟内，出现噪音的比例是相同的。
而他在研究英国海岸线长度时，也发现了无论如何放大海岸线，那种蜿蜒曲折的程度，都高度相似。
而这些情况在自然界普遍存在，那就是具备自相似性的分形结构，一种区别于欧氏几何的大自然的语言。
他是一个游离于主流学术圈之外的人，但却以敏锐的数学直觉，开辟了一个数学分支——分形几何，成为近50年来对数学影响最大的人之一。
真正让他和他的分形几何享誉全球的，就是今天的主角，他的重要发现：曼德勃罗集。
它是这样一个集合。
一个可迭代的多项式：
其中c为复数，是复平面上的一点。
任取一个c，就可以得到一系列的Z值。
比如，C=0，那么Z1=0，Z2=0……，所有的Z值都收敛到一个点0上。
又比如，C=1，那么Z1=1，Z2=2，Z3=5，Z4=26，Z5=677……，Z值会趋向于无穷，也就是发散了。
不同的C值，可能使Z值序列逐渐发散到无限大；也可能收敛到1个点或者有限多个点。
那么所有满足Z值序列收敛的C值，在复平面上呈什么摸样呢？
它们构成的就是曼德勃罗集，图形就长这样。
在图形之内数列会收敛，而在图形之外则会发散。
神奇的是，Z在最大的圆形区域收敛至1点，在第二大的圆形收敛至2点，在第三大的圆形收敛至3点，以此类推。
我们将这些圆分别标上数字，那么在2和3两个圆之间，最大的圆就是它们的数字之和5，会收敛至5个点；而在2和5两个圆之间，最大的圆就是7，会收敛至7个点。这个规律会一直延续。
这是一个无穷无尽的图形，拥有无限的细节，不会相交，处处充满了自相似性。
关于它的面积，我们知道它必定小于以2为半径的圆，但至今未能求出它的解析解。
只能用蒙特卡洛方法得到它的近似值为：1.5066……
但人们尚未发现该值与圆周率π，自然对数e之间，有什么明确的数量关系。
曼德勃罗集的出现，惊艳世界，人们运用各种不同的渲染方法，得到了极具艺术效果的图案。
根据轨迹点出现频率进行渲染，就形成了视频开始的曼德勃罗大佛。在无穷的细节中，人们能一次次看到它的分形，相似而不重复。
原来数学的世界里，真的有“一花一世界，一叶一如来”。
这是一个装载着大千世界的大千世界，浩瀚的宇宙与渺小的微粒在此处合一。
曼德勃罗集也被称为上帝的指纹，这异常美妙的景象，往往让人产生这样的感觉：宇宙生成的奥秘也许就在其中。
《混沌：开创一门新科学》
作者：詹姆斯•格雷克
译者：楼伟珊
美国国家图书奖入围作品 / 普利策奖入围作品，混沌理论，百万级畅销书作者詹姆斯·格雷克文津奖获得者成名之作，蝴蝶效应，数理科学故事科普图书。
混沌理论是这个时代最重要的科学知识之一，它开创了一门新的自然科学，掀起了人类思想的新浪潮。从洛伦茨发现蝴蝶效应开始，混沌理论阐释了生命的节律、社会的演变、自然的形状和宇宙的常数，那些貌似不相干的无规则现象被赋予了新的意义，人类看待自身与万物的视角也被彻底拓宽。